Mudança média recursiva

O Guia de cientistas e engenheiros para processamento de sinal digital Por Steven W. Smith, Ph. D. Capítulo 10: Propriedades da Transformação de Fourier A Transformada de Fourier de Tempo Discreto A Transformada de Fourier de Tempo Discreto (DTFT) é o membro da família de transformação de Fourier que opera em aperiodic. Sinais discretos. A melhor maneira de entender a DTFT é como ela se relaciona com a DFT. Para começar, imagine que você adquira um sinal de amostra N e que deseje encontrar seu espectro de freqüência. Ao usar o DFT, o sinal pode ser decomposto em ondas de seno e coseno, com freqüências igualmente espaçadas entre zero e metade da taxa de amostragem. Conforme discutido no último capítulo, o preenchimento do sinal do domínio do tempo com zeros torna o período do domínio do tempo mais longo. Bem como tornar o espaçamento entre as amostras no domínio da frequência mais estreito. À medida que N se aproxima do infinito, o domínio do tempo torna-se aperiódico. E o domínio da frequência torna-se um sinal contínuo. Esta é a DTFT, a transformada de Fourier que relaciona um aperiódico. Sinal discreto, com um periódico. Espectro de freqüência contínua. A matemática da DTFT pode ser entendida começando com as equações de síntese e análise para a DFT (Eqs 8-2, 8-3 e 8-4), e levando N para o infinito: Existem muitos detalhes sutis nessas relações. Primeiro, o sinal do domínio do tempo, x n, ainda é discreto e, portanto, é representado por suportes. Em comparação, os sinais de domínio de frequência, ReX (969) amp ImX (969), são contínuos, e assim são escritos com parênteses. Uma vez que o domínio da frequência é contínuo, a equação de síntese deve ser escrita como uma integral, em vez de uma soma. Conforme discutido no Capítulo 8, a freqüência é representada no domínio da frequência DFTs por uma das três variáveis: k. Um índice que vai de 0 a N 2 f. A fração da taxa de amostragem, que corre de 0 a 0,5 ou 969, a fração da taxa de amostragem expressa como uma freqüência natural, variando de 0 a 960. O espectro do DTFT é contínuo, portanto, f ou 969 podem ser usados. A escolha comum é 969, porque torna as equações mais curtas eliminando o fator sempre presente de 2pi. Lembre-se, quando 969 é usado, o espectro de freqüência se estende de 0 a 960, o que corresponde a DC a metade da taxa de amostragem. Para tornar as coisas ainda mais complicadas, muitos autores usam 937 (omega em maiúsculas) para representar essa freqüência na DTFT, em vez de 969 (uma omega de minúsculas). Ao calcular o DFT inverso, as amostras 0 e N 2 devem ser divididas por duas (Eq. 8-3) antes da síntese poder ser realizada (Eq. 8-2). Isso não é necessário com a DTFT. Como você se lembra, essa ação na DFT está relacionada ao espectro de freqüência sendo definido como uma densidade espectral. Ou seja, amplitude por unidade de largura de banda. Quando o espectro se torna contínuo, o tratamento especial dos pontos finais desaparece. No entanto, ainda há um fator de normalização que deve ser incluído, o 2 N na DFT (Eq. 8-3) torna-se 1960 na DTFT (Eq. 10-2). Alguns autores colocam esses termos na frente da equação de síntese, enquanto outros os colocam na frente da equação de análise. Suponha que você comece com algum sinal de domínio do tempo. Depois de tomar a transformada de Fourier, e depois a Transformada de Fourier Inversa, você quer acabar com o que você começou. Ou seja, o termo de 1960 (ou o termo de 2 N) deve ser encontrado em algum lugar ao longo do caminho, seja na frente ou na transformada inversa. Alguns autores dividem o termo entre as duas transformações colocando 1radic pi na frente de ambos. Uma vez que o DTFT envolve somas infinitas e integrais, não pode ser calculado com um computador digital. Seu principal uso é em problemas teóricos como alternativa à DFT. Por exemplo, suponha que você deseja encontrar a resposta de freqüência de um sistema a partir de sua resposta de impulso. Se a resposta ao impulso é conhecida como uma matriz de números. Tal como pode ser obtido a partir de uma medição experimental ou simulação por computador, um programa DFT é executado em um computador. Isso fornece o espectro de freqüência como uma outra série de números. Igualmente espaçados entre 0 e 0,5 da taxa de amostragem. Em outros casos, a resposta ao impulso pode ser conhecida como uma equação. Como uma função sinc ou uma sinusoide exponencialmente decadente. O DTFT é usado aqui para calcular matematicamente o domínio de freqüência como outra equação. Especificando toda a curva contínua entre 0 e 0,5. Enquanto o DFT também poderia ser usado para este cálculo, ele só forneceria uma equação para amostras da resposta de freqüência, não a curva inteira. Explicando A Volatilidade Média Mover Ponderada Exponencialmente é a medida mais comum de risco, mas vem em vários sabores . Em um artigo anterior, mostramos como calcular a volatilidade histórica simples. (Para ler este artigo, consulte Usando a volatilidade para avaliar o risco futuro.) Usamos os dados atuais do preço das ações da Googles para calcular a volatilidade diária com base em 30 dias de estoque de dados. Neste artigo, melhoraremos a volatilidade simples e discutiremos a média móvel ponderada exponencialmente (EWMA). Vendas históricas. Volatilidade implícita Primeiro, vamos colocar essa métrica em um pouco de perspectiva. Existem duas abordagens amplas: volatilidade histórica e implícita (ou implícita). A abordagem histórica pressupõe que o passado é o prólogo que medimos a história na esperança de que seja preditivo. A volatilidade implícita, por outro lado, ignora o histórico que resolve para a volatilidade implícita nos preços de mercado. Espera que o mercado conheça melhor e que o preço de mercado contenha, mesmo que de forma implícita, uma estimativa consensual da volatilidade. (Para leitura relacionada, veja Os Usos e Limites da Volatilidade.) Se nos concentrarmos apenas nas três abordagens históricas (à esquerda acima), eles têm dois passos em comum: Calcule a série de retornos periódicos Aplicar um esquema de ponderação Primeiro, nós Calcule o retorno periódico. Isso geralmente é uma série de retornos diários, em que cada retorno é expresso em termos compostos continuamente. Para cada dia, tomamos o log natural da proporção dos preços das ações (ou seja, preço hoje dividido por preço ontem e assim por diante). Isso produz uma série de retornos diários, de u i to u i-m. Dependendo de quantos dias (m dias) estamos medindo. Isso nos leva ao segundo passo: é aqui que as três abordagens diferem. No artigo anterior (Usando o Volatility To Gauge Future Risk), mostramos que sob um par de simplificações aceitáveis, a variância simples é a média dos retornos quadrados: Observe que isso resume cada um dos retornos periódicos, então divide esse total pelo Número de dias ou observações (m). Então, é realmente apenas uma média dos retornos periódicos ao quadrado. Dito de outra forma, cada retorno quadrado recebe um peso igual. Então, se o alfa (a) é um fator de ponderação (especificamente, um 1m), então uma variância simples parece algo assim: O EWMA melhora a diferença simples. A fraqueza dessa abordagem é que todos os retornos ganham o mesmo peso. O retorno de Yesterdays (muito recente) não tem mais influência na variação do que o retorno dos últimos meses. Esse problema é corrigido usando a média móvel ponderada exponencialmente (EWMA), na qual os retornos mais recentes têm maior peso na variância. A média móvel ponderada exponencialmente (EWMA) apresenta lambda. Que é chamado de parâmetro de suavização. Lambda deve ser inferior a um. Sob essa condição, em vez de pesos iguais, cada retorno quadrado é ponderado por um multiplicador da seguinte forma: por exemplo, RiskMetrics TM, uma empresa de gerenciamento de risco financeiro, tende a usar uma lambda de 0,94 ou 94. Neste caso, o primeiro ( Mais recente) o retorno periódico ao quadrado é ponderado por (1-0,94) (94) 0 6. O próximo retorno ao quadrado é simplesmente um múltiplo lambda do peso anterior neste caso 6 multiplicado por 94 5,64. E o peso do terceiro dia anterior é igual (1-0,94) (0,94) 2 5,30. Esse é o significado de exponencial em EWMA: cada peso é um multiplicador constante (isto é, lambda, que deve ser inferior a um) do peso dos dias anteriores. Isso garante uma variação ponderada ou tendenciosa em relação a dados mais recentes. (Para saber mais, confira a Planilha do Excel para a Volatilidade dos Googles.) A diferença entre a simples volatilidade e o EWMA para o Google é mostrada abaixo. A volatilidade simples efetivamente pesa cada retorno periódico em 0.196 como mostrado na Coluna O (tivemos dois anos de dados diários sobre o preço das ações. Isso é 509 devoluções diárias e 1509 0.196). Mas observe que a coluna P atribui um peso de 6, então 5.64, depois 5.3 e assim por diante. Essa é a única diferença entre variância simples e EWMA. Lembre-se: depois de somar toda a série (na coluna Q), temos a variância, que é o quadrado do desvio padrão. Se queremos volatilidade, precisamos lembrar de assumir a raiz quadrada dessa variância. Qual é a diferença na volatilidade diária entre a variância e EWMA no caso do Googles. É significativo: a variância simples nos deu uma volatilidade diária de 2,4, mas a EWMA deu uma volatilidade diária de apenas 1,4 (veja a planilha para obter detalhes). Aparentemente, a volatilidade de Googles estabeleceu-se mais recentemente, portanto, uma variação simples pode ser artificialmente alta. A diferença de hoje é uma função da diferença de dias de Pior. Você notará que precisamos calcular uma série longa de pesos exponencialmente decrescentes. Nós não vamos fazer a matemática aqui, mas uma das melhores características do EWMA é que toda a série se reduz convenientemente a uma fórmula recursiva: Recursiva significa que as referências de variância de hoje (ou seja, são uma função da variância dos dias anteriores). Você também pode encontrar esta fórmula na planilha e produz exatamente o mesmo resultado que o cálculo de longitude. Diz: A variação de hoje (sob EWMA) é igual a variação de ontem (ponderada por lambda) mais retorno de ônibus quadrado (pesado por um menos lambda). Observe como estamos apenas adicionando dois termos em conjunto: variância ponderada de ontem e atraso de ontem, retorno quadrado. Mesmo assim, lambda é o nosso parâmetro de suavização. Um lambda mais alto (por exemplo, como RiskMetrics 94) indica decadência mais lenta na série - em termos relativos, teremos mais pontos de dados na série e eles vão cair mais devagar. Por outro lado, se reduzirmos a lambda, indicamos maior deterioração: os pesos caem mais rapidamente e, como resultado direto da rápida deterioração, são usados ​​menos pontos de dados. (Na planilha, lambda é uma entrada, para que você possa experimentar sua sensibilidade). Resumo A volatilidade é o desvio padrão instantâneo de um estoque e a métrica de risco mais comum. É também a raiz quadrada da variância. Podemos medir a variação historicamente ou implicitamente (volatilidade implícita). Ao medir historicamente, o método mais fácil é a variância simples. Mas a fraqueza com variação simples é que todos os retornos recebem o mesmo peso. Então, enfrentamos um trade-off clássico: sempre queremos mais dados, mas quanto mais dados temos, mais nosso cálculo será diluído por dados distantes (menos relevantes). A média móvel ponderada exponencialmente (EWMA) melhora a variação simples ao atribuir pesos aos retornos periódicos. Ao fazer isso, podemos usar um grande tamanho de amostra, mas também dar maior peso aos retornos mais recentes. (Para ver um tutorial de filme sobre este tópico, visite a Tartaruga Bionica.)